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Calcul de la température dans un rad

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szwip


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Messages : 7

samedi 31 octobre 2009 à 17:21:14     
En prévision d’un futur wc (quand j’aurais le budget en fait ) je tente d’évaluer la température de l’eau en fonction du nombre de radiateurs et de leur configuration par rapport au flux d’air du boitier. Ca a l’air de fonctionner avec un unique rad (quelque soit ça taille), mais j’obtiens des valeurs loufoques lorsque je mets 2 rad en série traversés par le même flux d’air.

Histoire de ne pas vous noyer dans les calculs, pour l’instant je souhaiterais faire valider la modélisation d’un rad.

Je commence par supposer que l’unité de longueur est "le rad". C'est-à-dire qu’un rad de 120 à une longueur de 1, un rad de 240 une longueur de 2, etc.

Je m’intéresse ensuite à une portion infime du rad.

La puissance dissipée dans cette portion vaut :

dP(x) = (T(x) - Ta)/Rthl

avec T(x) la température de l’eau en x, Ta la température ambiante et Rthl la résistance thermique linéique entre l’eau et l’air.
La variation de température vaut alors :

T(x+dx) = T(x) - dP(x)/(Dm.Ct)

dT(x)/dx = T(x+dx) -T(x) = (T(x) - Ta)/ (Rthl.Dm.Ct)

avec Dm le débit massique et Ct la capacité thermique de l’eau.

On arrive donc à une équation différentielle dont la solution devrait-être (mais je ne suis pas sûr) :

T(x) = Tin + (Ta - Tin)(1 - exp(-k.x))

Avec Tin la température en entrée du rad et k = 1/(Rthl.Dm.Ct)

Est-ce que cela vous parait correct ?

Ce n'est que la première étape de mon raisonnement. Si c'est bon je vous exposerais la suite plus tard

Message édité par szwip le samedi 31 octobre 2009 à 17:26:34
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Rosco


Administrateur
Messages : 25926

samedi 31 octobre 2009 à 23:12:58     
Jusqu'à l'équa diff c'est OK, mais la résolution je ne saurais dire, ça fait un bail que je n'ai pas touché une de ces bêtes là même si ici elle n'est pas très compliquée . La dissipation est + importante près de l'entrée du rad puisque le deltaT eau-air y est le + grand (on suppose que h est constant au niveau des ailettes) et plus on se rapproche de la sortie plus la puissance surfacique dissipée diminue.

Néanmoins, ça laisse supposer des simplifications sur les radiateurs. Ne serait-ce que la manière de procéder en discrétisant le radiateur, cela suppose qu'il est en 1 passe (cas le + simple) ou que tu supposes qu'un 2 passes est équivalent à un 1 passe du point de vue thermique (ce qui n'est pas loin de la vérité). Le + complexe est évidemment le cas avec 2 rads en série avec le même flux d'air qui les traverse (le 2ème rad recevant l'air réchauffé du 1er), car si pour deux rads 1 passe ça peut éventuellement se faire à la main, le cas avec des 2 passes se complique vu que le champ de T° de l'air sortant du 1er rad a une tête un peu + compliqué du fait des 2 passes et il faudra modéliser ça pour l'utiliser en entrée du 2ème rad... C'est s'embêter pour pas grand-chose je crois. Quel intérêt pour toi de calculer ça ?
kissagogo27


Méchant Vieux Râleur
Messages : 28148

dimanche 01 novembre 2009 à 00:40:55     
bof suffit de prendre la température en sortie du 1er élément et reprendre la formule, simple kwa
szwip


Membre
Messages : 7

dimanche 01 novembre 2009 à 02:52:26     
QUOTE (Rosco @ samedi 31 octobre 2009 à 22:12:58) :

Jusqu'à l'équa diff c'est OK, mais la résolution je ne saurais dire, ça fait un bail que je n'ai pas touché une de ces bêtes là même si ici elle n'est pas très compliquée . La dissipation est + importante près de l'entrée du rad puisque le deltaT eau-air y est le + grand (on suppose que h est constant au niveau des ailettes) et plus on se rapproche de la sortie plus la puissance surfacique dissipée diminue.

Néanmoins, ça laisse supposer des simplifications sur les radiateurs. Ne serait-ce que la manière de procéder en discrétisant le radiateur, cela suppose qu'il est en 1 passe (cas le + simple) ou que tu supposes qu'un 2 passes est équivalent à un 1 passe du point de vue thermique (ce qui n'est pas loin de la vérité). Le + complexe est évidemment le cas avec 2 rads en série avec le même flux d'air qui les traverse (le 2ème rad recevant l'air réchauffé du 1er), car si pour deux rads 1 passe ça peut éventuellement se faire à la main, le cas avec des 2 passes se complique vu que le champ de T° de l'air sortant du 1er rad a une tête un peu + compliqué du fait des 2 passes et il faudra modéliser ça pour l'utiliser en entrée du 2ème rad... C'est s'embêter pour pas grand-chose je crois. Quel intérêt pour toi de calculer ça ?

Effectivement je suppose un radiateur à 1 passe, un radiateur à 2 passe étant plus compliqué à modélisé, vu que l'eau qui rentre a tendance à réchauffer l'eau qui sort à cause de la conduction des ailettes. Et comme tu le dis, la diférence avec un 2 passes ne doit pas être énorme. Mon but n'est pas d'avoir des caluls ultra précis mais juste d'estimer le gain obtenu par l'ajout de radiateurs.

Pour les équa-diff, pour moi aussi c'est un peu loin. En plus je n'ai jamais été très doué pour les résoudre
Je revérifierais le résultat en comparant à celle d'une charge de condo. C'est assez similaire.

Et pour répondre kissagogo27, malheureusement ce n'est pas possible. vu que les 2 rads partagent le même flux d'air, il y a une interraction entre les rads. De plus comme la puissance à dissiper est l'une de mes grandeurs d'entrée, je ne sait pas à priori comment elle se répartit sur les 2 rads.
szwip


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Messages : 7

dimanche 01 novembre 2009 à 17:53:52     
J'ai vérifié mon équa-diff, et le résultat a l'air ok. On peut aussi écrire le résultat comme cela :

T(x) = (Tin - Ta).exp(-k.x) + Ta

Reste à connaitre les coefficients.
Pour Ct c'est une constante qui vaut 4186 J/(kg.K).
Pour le débit j'ai pris 5L/min, soit Dm = 0,083 kg/s. Cette valeur vous parait-elle raisonnable ?
J'ai posé Ta = 20°C

Enfin pour fixer Rthl, j'ai choisi comme point de fonctionnement une puissance P = 300W, un rad triple (x=3) et un delta air/eau DTae = 10°C, qui semble vraisemblable pour un bon rad avec une ventilation faible.

A partir de P, Ct et Dm on peut facilement en déduire Tint-Tout :

Tin - Tout = P / (Ct.Dm) = 300 / (0.083 x 4186) = 0,86°C
Tin = Tout + 0,86

Ca semble assez réaliste.

Je peux alors en déduire Rthl :

Tout = T(3) = (Tout + 0,86 - Ta).exp(-3/(Rthl.Dm.Ct)) + Ta
(Tout-Ta)/(Tout-Ta+0,86) = exp(-3/(Rthl.Dm.Ct))
Rthl = 3 / (ln((Tout-Ta+0,86)/(Tout-Ta)).Dm.Ct)

Rthl = 0,104 K/W

Si c'est correct, alors on obtient le graph suivant :


On voit donc clairement qu'au delà de 3 éléments de 120, le gain n'est pas aussi évident, mais il reste tout de même quelques degrés à grappiller. Avec 2 rad triples alimentés en air frais, on peut ainsi passer de 10°C à 5°C pour le delta eau air.
Rosco


Administrateur
Messages : 25926

dimanche 01 novembre 2009 à 19:39:14     
L'allure est bonne, les valeurs OK et on peut vérifier avec des données expérimentales disponibles sur cette page avec des rads classiques 2 passes testés sur les 3 tailles : http://www.cooling-masters.com/articles-38-11.html , mes conclusions étant les mêmes sur l'amenuisement du gain par rapport à la taille évidemment. Il en va de même si l'on s'attachait à la ventilation par exemple. En me recalant par rapport à tes constantes de départ (on tombe alors sur une ventilation à 7 V avec les ventilos utilisés dans le test), je tombe près de ce que tu as calculé :

http://img5.imageshack.us/img5/2937/rad.png

Tu aurais pu tracer directement un réseau de courbes pour diverses puissances dissipées aussi pour voir le tassement et l'inutilité de x rads en petite puissance par exemple.
szwip


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dimanche 01 novembre 2009 à 23:48:05     

C'est encore mieux que ce que j'espérais
Effectivement je pourrais faire sortir différentes courbes (et le ferais sûrement), mais le but premier est pour l'instant de m'assurer que mon modèle est correcte.

Je passe à présent au choix du débit d'air. Je passe les équations, mais j'ai pu montré que même avec un rad ayant un rendement de 100%, le débit d'air doit être d'au moins :

1/(Rthl.Ctair), avec Ctair la capacité thermique de l'air.

Soit ici un débit d'air d'au moins 9,4 m3/h = 5,5 CFM par élément de 120.

Pour avoir quelque chose de plus réaliste, les rad étant loin d'être parfait, je suis parti sur 35 m3/h (environ 20 CFM).
Est-ce que cette valeur semble probable pour 10°C de delta air/eau ?
Rosco


Administrateur
Messages : 25926

dimanche 01 novembre 2009 à 23:58:35     
Ton rendement de 100 %, tu le définis en supposant que la T° de l'eau qui sort du rad est égale à la T° de l'air aspiré, right ? (point inatteignable en pratique).

20 cfm me semble être une valeur correcte, peut-être un poil faible (toujours pour tes 300 W et ton rad triple je suppose aussi) puisqu'avec les valeurs des tests, on a un Panaflo à 7 V qui fait du 1210 tr/min, soit ~50 cfm à vide (86 cfm maxi à 12 V, le débit maxi évoluant linéairement avec les RPM), donc en supposant une perte de charge pour la traversée du rad qui bouffe 50 %, déjà pas mal, ça nous donne 25 cfm effectifs par élément de 120 pour un dT de 10 °C.
szwip


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vendredi 06 novembre 2009 à 15:45:36     
J'ai refait les calculs plusieurs fois lorsque 2 rad sont en série, mais j'ai des valeurs complètements incohérentes avec par exemples 12°C pour l'eau en sortie du rad.

Si tu as le courage de vérifier 2 pages de calculs, voici comment j'ai procédé :

Je suppose que l'eau passe d'abord par un rad de taille N1 éléments de 120 qui dissipe une puissance P1 puis par un rad de taille N2 qui dissipe P2. L'eau au "milieu", c'est à dire entre les deux rads, a une température Tm.
L'air passe d'abord par le rad 2, et en sort avec une température Tc, avant de passer à travers le rad 1. Pour des raisons de simplicité, le débit dans chacun des éléments des rads vaut Dm_air quelque soit leur taille, et l'air qui entre dans le second rad vaut également Tc.

La suite des calculs se trouve dans ce pdf :
rad.pdf

Au mieux, j'ai fait une erreur de signe, au pire mes hypothèses sont mauvaises.

Message édité par szwip le vendredi 06 novembre 2009 à 15:46:26
Rosco


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vendredi 06 novembre 2009 à 20:26:18     
Pas le courage de refaire les calculs vu le truc , alors je ne sais pas si ce qui suit est pris en compte, je fais notamment référence à la T° d'air en sortie du 1er rad, Tc pour toi. Elle n'est pas constante, le champ de température de l'air en sortie est non linéaire et adopte un certain profil (en rouge au centre sur mon schéma), or il y a plusieurs cas de figures suivant dans quel sens tu places l'entrée de l'eau du 2ème rad. Faire arriver l'air le + chaud du 1er rad sur l'eau la + fraiche ou l'eau la + chaude du 2ème radiateur n'est pas pareil (co-courant, contre-courant...).



Pour un bien, chaque cas doit être pris séparément avec un schéma associé, il n'y aura pas de formule miracle universelle. Dans le cas de rad 1 passe, le nombre de cas de figure possibles est de 4. Par contre, c'est bien pire si on intègre des radiateurs à 2 passes, car le champ de T° a 2 "demi-allures" à calculer sur chacune des passes pour l'appliquer au 2ème radiateur en sandwich... Néanmoins ça doit être faisable et on doit pouvoir montrer qu'il existe une seule situation la + efficace si on veut un sandwich de radiateurs où normalement l'eau rentrera par le radiateur ventilé en dernier et dans un certain sens par rapport au 1er. Le nombre de cas à étudier est nettement + conséquent si l'on veut traiter ça dans toutes les positions possibles.
jobarjo


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vendredi 06 novembre 2009 à 23:18:47     
Si le débit d'eau et débit d'air sont élevé, tu peux considérer que les rad sont comme en parallele, donc que les conductivités thermiques s'ajoute, tout simplement.
Ce que tu constate dans la courbe ci dessus.
Ca simplifie très beaucoup, et ca reste proche de la réalité.
Rosco


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Messages : 25926

vendredi 06 novembre 2009 à 23:23:30     
A force de simplifier aussi, le résultat devient très beaucoup foireux
szwip


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samedi 07 novembre 2009 à 02:37:05     
J'ai également pensé au profil de température, et je l'ai d'ailleurs utilisé pour calculer la débit minimum que doit avoir les ventilo pour pouvoir absorber toute la puissance dissipée. Mais je suppose que les rad sont suffisamment éloignés pour que la température s'homogénéise. Par exemple un en bas et un haut du boitier. Et comme en plus en pratique il y a d'autres interactions avec les autres ventilos du boitier très difficile à modéliser (sauf avec un logiciel de méca flux), je préfère rester simple sur cet aspect.

Par contre, la configuration que je calcule n'est pas celle du schéma. Le sens de l'eau est inversé. Car si on fait comme sur le schéma le gain du rad de droite est pratiquement nul

Message édité par szwip le samedi 07 novembre 2009 à 02:38:50
Rosco


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Messages : 25926

samedi 07 novembre 2009 à 03:28:36     
Mais alors ce n'est pas du sandwich, ce que me laisser supposer ta précédente description, mais une simple mise en série si tu considères les rads éloignés et la T° redevenue constante à l'entrée du 2ème. OK, tu prends le cas du contre-courant, le meilleur que l'on puisse avoir ici, car ce que j'ai schématisé est l'autre cas, le co-courant moins efficace vis-à-vis des deltaT eau-air.
szwip


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samedi 07 novembre 2009 à 23:36:32     
Effectivement, je n'étais pas très clair
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