On veut :
x²(u/u) + 2x(u/v) + (v/v) => 0 (1)
avec x²(u/u) et (v/v) > 0
Dans R (je ne me souviens plus de prémachin)
Solution de x²(u/u) + 2x(u/v) + (v/v) = 0
on pose D = [2(u/v)]²-4(u/u)(v/v)
X1 = -[ 2(u/v) + racine(D)] / 2(u/u)
X2 = -[ 2(u/v) - racine(D)] / 2(u/u)
cas D = 0
=> (u/v)²=(u/u)(v/v) => u=v ou u=-v
cas u=v => (1) => (1) devient : x² + 2x + 1 => 0, c'est toujours vrai pour x reel
cas u=-v => (1) => (1) devient : x² - 2x + 1 => 0, c'est toujours vrai pour x reel
cas D > 0
X1 = -[ 2(u/v) + racine(D)] / 2(u/u)
X2 = -[ 2(u/v) - racine(D)] / 2(u/u)
x <X1 => polynome du signe de u/u, donc >0
X1< x <X2 => polynome du signe de -u/u, donc 0<
X2 < x => polynome du signe de u/u, donc >0
cas D > 0
X1 = -[ 2(u/v) + racine(D)] / 2(u/u)
X2 = -[ 2(u/v) - racine(D)] / 2(u/u)
x <X1 => polynome du signe de u/u, donc >0
X1< x <X2 => polynome du signe de -u/u, donc 0<
X2 < x => polynome du signe de u/u, donc >0
cas D < 0
X1 = -[ 2(u/v) + I.racine(D)] / 2(u/u), mais on n'est plus dand R
X2 = -[ 2(u/v) - I.racine(D)] / 2(u/u), mais on n'est plus dand R
on est dans un plan de solution dans C
Dans R , signe u/u, donc (1) toujours vrai
Enfin, si mes souvenirs sont toujours justes... ce qui est assez douteux quand je vois ce qui me reste dans la cave
Message édité par $@m le jeudi 31 mai 2007 à 11:23:09